Question

4．已知k是方程x²-2017x+1=0的一个根，不解方程，求k²-2016k+$\frac{2017}{{k}^{2}+1}$的值．

Answer 1

分析 先利用一元二次方程的解的定义得到k²=2017k-1或k²-1=2017k，则利用整体代入的方法得到原式=k+$\frac{1}{k}$-1，然后通分后再利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵k是方程x²-2017x+1=0的一个根，
∴k²-2017k+1=0，
∴k²=2017k-1，
∴k²-2016k+$\frac{2017}{{k}^{2}+1}$=2017k-1-2016k+$\frac{2017}{2017k}$
=k+$\frac{1}{k}$-1
=$\frac{{k}^{2}+1}{k}$-1
=$\frac{2017k}{k}$-1
=2017-1
=2016．

点评 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．