Question

如图，在?ABCD中，已知AB=2，BC=4，∠ABC=60°，∠ABC的平分线交AD于点G，点P从B点开始，沿射线BG运动．
（1）计算BG的长度；
（2）点P运动到何处时与点D的距离最小，并求出最小距离；
（3）点P在运动过程中，PC+PD的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）过A作AH⊥BG于H，求出∠ABG=μCBG=μAGB=30°，求出AH、BH，即可求出答案；
（2）过D作DP⊥BG于P，此时P点与点D的距离最小，求出DG，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；
（3）作D关于直线BG的对称点E，连接CE，交直线BG于P，则此时PC+PD的值最小，且等于CE长，求出EZ，即可求出CE的值，得出答案即可．

解答：解：（1）过A作AH⊥BG于H，
∵∠ABC=60°，BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AGB=∠CBG=30°=∠ABG，
∴AG=AB=2，
在Rt△ABH中，AH=

1

2

AB=1，由勾股定理得：BH=

22-12

=

3

，
∵AB=AG，AH⊥BG，
∴BG=2BH=2

3

；

（2）
过D作DP⊥BG于P，此时P点与点D的距离最小，
则∠DPG=90°，
∵∠DGP=∠AGB=30°，DG=AD-AG=4-2=2，
∴DP=

1

2

DG=1，
即最小距离是1；

（3）
作D关于BG的对称点E，连接CE，交直线BG于P，则此时PC+PD的值最小，且等于CE长，
过D作DZ⊥CE于Z，
由（2）知：DE=2×1=2，
∵CD=AB=2，
∴CD=DE，
∴CE=2EZ，
在Rt△EDZ中，∠EZD=90°，∠EDZ=90°-30°=60°，DE=2，
∴DZ=1，EZ=

3

，
即CE=2EZ=2

3

，
故答案为2

3

．

点评：本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，轴对称等知识点的应用，题目比较好，综合性比较强，有一定的难度．