Question

如图，抛物线y₁=a（x+2）²-3与y₂=

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（x-3）²+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C 则以下结论：①无论x取何值，y₂的值总是正数；②a=1；③y₁与y₂共有三个交点；④2AB=3AC；其中正确结论有（　　）个．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：根据与y₂=

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（x-3）²+1的图象在x轴上方即可得出y₂的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y₁=a（x+2）²-3即可得出a的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．

解答：解：①∵抛物线y₂=

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（x-3）²+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论x取何值，y₂的值总是正数，故①正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y₁=a（x+2）²-3得，3=a（1+2）²-3，解得a=

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，故②错误；
③由②知，a=

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3

则

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3

（x+2）²-3=

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（x-3）²+1，
整理，得
x²+34x-35=0．
则△=34²-4×1×（-35）=1296＞0，
则y₁与y₂共有2个交点．
故③错误．
④∵物线y₁=a（x+2）²-3与y₂=

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（x-3）²+1交于点A（1，3），
∴y₁的对称轴为x=-2，y₂的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故④正确．
综上所述，正确的结论是①④，共2个．
故选：B．

点评：本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．