Question

如图，AB是⊙的直径，AD切⊙O于A，延长AB到C，过C作⊙O的切线CE，切点为E，CE的延长线交AD于D，连接AE，且AE=CE．
（1）求证：AB=2BC；
（2）若AB=4cm，求图中阴影部分（弓形）的面积．（结果保留根号）

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OE、BE，根据切线的性质得出AD=DE，进而得出∠DAE=∠DEA，根据已知求得∠EAC=∠C，从而求得∠DAE=∠DEA=2∠EAC，进而求得∠EAC=30°，求得AB=2BE，然后求得BE=BC，即可求得结论；
（2）根据勾股定理求得AE，AE边上的高OF，然后根据S_阴影=S_扇形-S_△AOE即可求得．

解答：解：（1）连接OE、BE，
∵AD、DC是⊙O的切线，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵AE=CE，
∴∠EAC=∠C，
∴∠DAE=∠DEA=2∠EAC，
∵∠DAE+∠EAC=∠DAC=90°，
∴∠EAC=30°，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴AB=2BE，
∵DC是⊙O的切线，
∴∠BEC=∠EAC，
∴∠BEC=∠C，
∴BE=BC，
∴AB=2BC．

（2）作OF⊥AE于F，
∴OF=

1

2

OA=1，
∵OA=OE=2，
∴∠EAC=∠AEO=30°，
∴∠AOE=120°，
∵AB=4，
∴BE=2，AE=

3

2

×4=2

3

∴OF=1，
∴S_阴影=S_扇形-S_△AOE=

120×π×22

360

-

1

2

×2

3

×1=

4π-3 3

3

．

点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质勾股定理的应用，30°角的直角三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形和等腰三角形是本题的关键．