Question

7．如图，在△ABC中∠ABC=45°，CD⊥BA，BE⊥AC，F为BC中点，∠ABE=∠CBE
（1）线段BH与线段AC相等吗？若相等给予证明，若不相等，请说明理由．
（2）若AC=12，BC=10，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可；
（2）根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．

解答 解：（1）线段BH与线段AC相等．
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC，
∴DB=DC，
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠ACD，
∵在△DBH和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDH=∠CDA}\\{BD=CD}\\{∠HBD=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△DBH≌△DCA（ASA），
∴BH=AC；

（2）如图，连接CG，
由（1）知，DB=CD，
∵F为BC的中点，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴△ABE≌△CBE，
∴EC=EA=6，
∵Rt△BCE中，BC=10，CE=6，
∴BE=8，
设BG=CG=x，则GE=8-x，
∴Rt△CEH中，6²+（8-x）²=x²，
∴x=$\frac{25}{4}$，
∴BG=$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有三线合一的性质．