Question

14．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC上一点，DE⊥BC于E，连接BD，M在AB上，AM=AD，MN⊥BD交BC于点N，若MN=5，AE=5$\sqrt{2}$，求BC的长．

Answer 1

分析 连接AN，作MK⊥BC于K，连接DM、EM．只要证明△MBN∽△EBA，可得$\frac{BM}{AE}$=$\frac{BN}{AB}$=$\frac{MN}{AE}$=$\frac{5}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，推出AB=$\sqrt{2}$BN，由∠ABC=45°，推出BN=NC，AN⊥BC，由$\frac{BN}{BM}$=$\frac{AB}{AE}$，∠ABN=∠EBM，推出△ABN∽△EBM，推出∠MEB=∠BAN=45°，推出MK=KE=DE=DM=EC=KB，KN=NE，设EN=a，则AN=NC=3a，在Rt△ANE中，可得a²+9a²=50，求出a即可解决问题．

解答 解：连接AN，作MK⊥BC于K，连接DM、EM．

∵∠BAD+∠BED=180°，
∴A、B、E、D四点共圆，
∴∠EBD=∠EAD，
∵∠EBD+∠BNM=90°，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BNM=∠BAE，∵∠MBN=∠ABE，
∴△MBN∽△EBA，
∴$\frac{BM}{AE}$=$\frac{BN}{AB}$=$\frac{MN}{AE}$=$\frac{5}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$BN，
∵∠ABC=45°，
∴BN=NC，AN⊥BC，
∵$\frac{BN}{BM}$=$\frac{AB}{AE}$，∠ABN=∠EBM，
∴△ABN∽△EBM，
∴∠MEB=∠BAN=45°，
∴MK=KE=DE=DM=EC=KB，KN=NE，设EN=a，则AN=NC=3a，
在Rt△ANE中，a²+9a²=50，
∵a＞0，
∴a=$\sqrt{5}$，
∴BC=6a=6$\sqrt{5}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．相似三角形的判定和性质，解得的突破点是证明点N是BC的中点，四边形DMKE是正方形，题目比较难，用到四点共圆．