Question

3．某旅游风景区出售一种纪念品，该纪念品的成本为12元/个，这种纪念品的销售价格为x（元/个）与每天的销售数量y（个）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售价格定为多少时，每天可以获得最大利润？并求出最大利润．
（3）“十•一”期间，游客数量大幅增加，若按八折促销该纪念品，预计每天的销售数量可增加200%，为获得最大利润，“十•一”假期该纪念品打八折后售价为多少？

Answer 1

分析 （1）根据函数图象中两个点的坐标，利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析，利用二次函数的性质可得最值情况；
（3）根据（2）中相等关系列出函数解析式，由二次函数的性质求解可得．

解答 解：（1）设y=kx+b，
根据函数图象可得：$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=150}\\{20k+b=100}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=200}\end{array}\right.$，
∴y=-5x+200；

（2）设每天获利w元，
则w=（x-12）y=-5x²+260x-2400=-5（x-26）²+980，
∴当x=26时，w最大，最大利润为980元；

（3）设“十一”假期每天利润为P元，
则P=（0.8x-12）•y（1+200%）=-12x²+660x-7200=-12（x-$\frac{55}{2}$）²+1875，
∴当x=$\frac{55}{2}$时，P最大，
此时售价为0.8×$\frac{55}{2}$=22，
答：“十•一”假期该纪念品打八折后售价为22元．

点评 本题主要考查二次函数的应用和待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握销售问题中关于总利润的相等关系和二次函数的性质是解题的关键．