Question

16．请同学们仔细阅读以下内容：
数学课上，老师向同学们介绍了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，则CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB．
请同学们借助以上知识点探究下面问题：
如图2，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1）观察：①如图3、图4，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK=MK（填“＞”，“＜”或“=”）．
②如图5，当∠CDF=30° 时，AM+CK＞MK（只填“＞”或“＜”）．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，若点G是点A关于直线DE的对称点，则AM+CK＞MK，证明你所得到的结论．
（3）如果MK²+CK²=AM²，请直接写出∠CDF的度数．

Answer 1

分析 （1）先证明△CDA是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质证明AM+CK=MK；在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）；
（2）作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD．证明△ADM≌△GDM后，根据全等三角形的性质可得GM=AM，GM+GK＞MK，从而得到AM+CK＞MK；
（3）根据勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°，又由点C关于FD的对称点G，得到∠CKG=90°，∠FKC=$\frac{1}{2}$∠CKG=45°，根据三角形的外角定理，就可以求得∠CDF=15°．

解答 解：（1）①在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$AB，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°-30°=30°，
又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，
∴∠CKD=90°，
∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），
∵CK=0，或AM=0，
∴AM+CK=MK；
②由①，得
∠ACD=30°，∠CDB=60°，
又∵∠A=30°，∠CDF=30°，∠EDF=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=MD，CK=KD，
∴AM+CK=MD+KD，
∴在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边），
故答案为：①=；②＞；
（2）＞，
证明：连接GK，

∵点G是点A关于直线DE的对称点
∴AD=GD，GM=AM，∠GDM=∠ADM，
∵Rt△ABC 中，D是AB的中点，
∴AD=CD=GD．
∵∠A=∠E=30°，
∴∠CDA=120°，∠EDF=60°，
∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°，
∴∠GDK=∠CDK，
在△GDK和△CDK中，
$\left\{\begin{array}{l}GD=CD\\∠GDK=∠CDK\\ DK=DK\end{array}\right.$，
∴△GDK≌△CDK，
∴GK=CK，
∵GM+GK＞MK，
∴AM+CK＞MK；
（3）∠CDF=15°，
由（2），得GM=AM，GK=CK，
∵MK²+CK²=AM²，
∴MK²+GK²=GM²，
∴∠GKM=90°，
又∵点C关于FD的对称点G，
∴∠CKG=90°，∠FKC=$\frac{1}{2}$∠CKG=45°，
又∵由（1），得∠A=∠ACD=30°，
∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，
∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°．

点评 本题综合考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、轴对称图形的性质以及三角形的两边之和大于第三边的性质．