Question

7．如图，直线l₁∥l₂，线段AB在l₁上，BC⊥l₁交l₂于点C，且AB=BC=2cm，点P在点B、C之间，过点P的直线分别交l₂、l₁于点D、E；已知∠CDP=45°．
（1）求证：△ABP≌△CBE；
（2）求证：AP⊥CE；
（3）若AP⊥BD，求线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，AB=BC，∠ABP=∠CBE，所以欲△ABP≌△CBE只要证明PB=BE即可．
（2）延长AP交CE于H，根据全等三角形的性质得到∠PAB=∠ECB，由等量代换得到∠PAB+∠AEH=90°，结论得证；
（3）证得四边形BDCE是平行四边形，由平行四边形的性质得到P是BC的中点，DC=BE，于是CD=BE=BP=$\frac{1}{2}$BC=1cm．

解答 （1）证明：∵CD∥BE，
∴∠BEP=∠CDP=45°，
∵∠PBE=90°，
∴∠BPE=∠BEP=45°，
∴PB=BE，
在△ABP和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBE}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBE；
（2）证明：延长AP交CE于H，
∵△ABP≌△CBE，
∴∠PAB=∠ECB，
∴∠PAB+∠AEH=∠ECB+∠AEH=90°，
∴AP⊥CE；
（3）解：∵AP⊥BD，AP⊥CE，
∴CE∥BD，
∵l₁∥l₂，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴P是BC的中点，DC=BE，
∴CD=BE=BP=$\frac{1}{2}$BC=1cm．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，利用三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．