Question

17．甲、乙两人对代数式$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$分别进行不同方式的变形：
甲：$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$=$\frac{（x-y）}{（\sqrt{x}-\sqrt{y}）}$•$\frac{（\sqrt{x}+\sqrt{y}）}{（\sqrt{x}+\sqrt{y}）}$=$\frac{（x-y）（\sqrt{x}+\sqrt{y}）}{x-y}$=$\sqrt{x}+\sqrt{y}$
乙：$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$=$\frac{（\sqrt{x}+\sqrt{y}）（\sqrt{x}-\sqrt{y}）}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$=$\sqrt{x}+\sqrt{y}$
（1）这两种变形方法是否正确？为什么？
（2）若对代数式$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$化简，能否采用上述方法？若能，请你试一试；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用分母有理化对甲进行判断；利用因式分解的方法对乙进行判断；
（2）由于$\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$可能为0，则可利用乙的方法计算$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$．

解答 解：（1）甲、乙的方法都正确．对于甲，把分子分母都乘以（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$），再约分得到结果；对于乙，利用平方差公式把分子分解，然后约分即可；
（2）对代数式$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$化简可采用乙的方法．
$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$=$\frac{（\sqrt{x}+\sqrt{y}）（\sqrt{x}-\sqrt{y}）}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$=$\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$．

点评 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．