Question

4．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，A点的坐标为（2，0），C点的坐标为（1，$\sqrt{3}$）
（1）B点坐标为（2，$\sqrt{3}$），∠COA的度数为60度．
（2）边长为1的正方形ODEF的顶点F，D分别在x，y轴上，现将正方形沿着线段OC，CB翻滚（无滑动）请在备用图中画出翻滚过程中顶点E的运动痕迹，并求出运动的路程．

Answer 1

分析 （1）过点C作CM⊥OA，根据A和C点的坐标可直接得出B点的坐标；根据C点的坐标求出OM和CM的值，再根据勾股定理求出OC，从而得出∠COA的度数；
（2）顶点E的运动痕迹有2段：①以OE长为半径，圆心角为30°的弧长；②以DE长为半径，圆心角为45°的弧长；把两者的长度相加即可求解．

解答 解：（1）如图，过点C作CM⊥OA，
∵A点的坐标为（2，0），C点的坐标为（1，$\sqrt{3}$）
∴B点坐标为（2，$\sqrt{3}$），
∴OM=1，CM=$\sqrt{3}$，
∴OC=2，
∴sin∠COA=$\frac{MC}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠COA=60°；

（2）如备用图：
①以OE长为半径，圆心角为30°的弧长，
在Rt△ODE中，OE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
90°-60°=30°，
$\frac{30×π×\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}π}{6}$；
②以DE长为半径，圆心角为45°的弧长，
$\frac{45×π×1}{180}$=$\frac{π}{4}$；
运动的路程为$\frac{\sqrt{2}π}{6}$+$\frac{π}{4}$=（$\frac{\sqrt{2}}{6}$+$\frac{1}{4}$）π．
故答案为：（2，$\sqrt{3}$），60．

点评 此题考查了作图-旋转变换，用到的知识点是勾股定理、特殊角的三角函数值和旋转的性质，关键是根据题意画出图形．