Question

【题目】已知∠AOB＝120°，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB内部一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O重合．

（1）依据题意补全图1；

（2）用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系，并证明；

（3）连接OC，写出一个OC的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ＝4，并证明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）∠CQO+∠CPO＝180°，详见解析；（3）OC＝4时，对于任意点P，总有OP+OQ＝4，详见解析.

【解析】

（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据四边形内角和为360°可得答案；
（3）连接OC，在射线OA上取点D，使得DP=OQ，连接CD，首先证明△COQ≌△CDP，然后△COD为等边三角形，进而可得答案．

（1）补图如图1：

（2）∠CQO+∠CPO＝180°，

理由如下：∵四边形内角和360°，

且∠AOB＝120°，∠PCQ＝60°，

∴∠CQO+∠CPO＝∠1+∠2＝180°．

（3）OC＝4时，对于任意点P，总有OP+OQ＝4．

证明：连接OC，在射线OA上取点D，使得DP＝OQ，连接CD．

∴OP+OQ＝OP+DP＝OD．

∵∠1+∠2＝180°，

∵∠2+∠3＝180°，

∴∠1＝∠3．

∵CP＝CQ，

在△CQO和△CPD中

，

∴△COQ≌△CDP（SAS）．

∴∠4＝∠6，OC＝CD．

∵∠4+∠5＝60°，

∴∠5+∠6＝60°．

即∠OCD＝60°．

∴△COD是等边三角形．

∴OC＝OD＝OP+OQ＝4．