题目内容

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，DE交直径AB于点F．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=2，sin∠ADE= $数学公式$ ，求OA及EF的长．

解

：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∴OD⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴OD⊥DC，
∴CD为⊙O的切线；
（2）作AH⊥EF于H，连结BE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠ADE=∠ABE，
∴sin∠ADE=sin∠ABE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
而AE=2，
∴AB=4 $\text{[math]}$ ，
∴OA=2 $\text{[math]}$ ，
在Rt△AEH中，∠AEH=45°，
∴AH=EH= $\text{[math]}$ AE= $\text{[math]}$ ，
∵△AHF∽△DOF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OF=2HF，
∴AF=OA-OF=OA-2HF=2 $\text{[math]}$ -2HF，
在Rt△AHF中，∵AH²+FH²=AF²，
∴（ $\text{[math]}$ ）²+HF²=（2 $\text{[math]}$ -2HF）²，
∴HF= $\text{[math]}$ 或HF= $\text{[math]}$ （舍去），
∴EF=EH+HF= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连结OD，根据圆周角定理得∠AOD=2∠AED=90°，则OD⊥AB，再根据平行四边形的性质得AB∥DC，所以OD⊥DC，则根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）作AH⊥EF于H，连结BE，根据圆周角定理得∠ADE=∠ABE，则sin∠ADE=sin∠ABE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由AE=2得到AB=4 $\text{[math]}$ ，所以OA=2 $\text{[math]}$ ，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，可计算出AH=EH= $\text{[math]}$ AE= $\text{[math]}$ ，然后证明△AHF∽△DOF，利用相似比得到OF=2HF，则AF=OA-OF=2 $\text{[math]}$ -2HF，在Rt△AHF中利用勾股定理计算出FH，再利用EF=EH+HF计算．
点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了平行四边形的性质和解直角三角形．