Question

如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直平分于点O，设AC=2a，BD=2b，请推导这个四边形的性质．（至少3条）
（提示：平面图形的性质通常从它的边、内角、对角线、周长、面积等入手．）

Answer 1

分析：由四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直平分于点O，设AC=2a，BD=2b，由勾股定理即可求得AB=BC=CD=AD，即可求得此四边形的周长，对角相等，以及此四边形的面积等于对角线乘积的一半．

解答：解：（1）∵AC与BD互相垂直平分于点O，
设AC=2a，BD=2b，
∴Rt△AOD中，AO=a，DO=b，
Rt△AOB中，AO=a，BO=b，
Rt△COD中，CO=a，DO=b，
Rt△COB中，CO=a，BO=b，
据勾股定理可得：AD=AB=BC=CD=

a2+b2

，
即：该四边形四边相等．

（2）由（1）可知：AD=AB=BC=CD，
∴可得C_ABCD=4AB，
即：该四边形的周长为边长四倍．

（3）由（1）可知；AD=AB=BC=CD，
∴∠ADO=∠ABO，∠CDO=∠CBO，
∴∠ADC=∠ABC，
同理：∠DAB=∠DCB；
即：该四边形的对角相等．

（4）由（1）可知：S_△AOD=S_△AOE=S_△COE=S_△COD=

1

2

ab，
且AC=2a，BD=2b，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

ab×4=2ab．
即：该四边形的面积等于对角线乘积的一半．

点评：此题考查了菱形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．