Question

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（-1，0），（0，-3），直线x=1为抛物线的对称轴，点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E．
（1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；
（2）求△BCD的面积；
（3）点P为直线x=1右方抛物线上的一点（点P不与点B重合），记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若S=$\frac{5}{2}$S_△BCD，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称性确定B（3，0），则设交点式y=a（x+1）（x-3），然后将C（0，-3）代入求出a即可得到抛物线的解析式，再把解析式配成顶点式即可得D的坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x-3，则求出E（1，-2），然后根据三角形面积公式，利用S_△BCD=S_△CDE+S_△BDE进行计算即可；
（3）设P点坐标为（t，t²-2t-3），讨论：当点P在x轴下方时，即1＜m＜3时，连结OP，如图1，根据三角形面积公式，利用S=S_△AOC+S_△POC+S_△POB得到S=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6，则利用S=$\frac{5}{2}$S_△BCD得到2-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6=$\frac{5}{2}$×3，解方程得t₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍去），于是得到此时P点的坐标为（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$）；当点P在轴的上方时，即m＞3，如图2，同样方法得到2t²-4t=$\frac{5}{2}$×3，解方程得t₁=$\frac{2+\sqrt{19}}{2}$，t₂=$\frac{2-\sqrt{19}}{2}$（舍去），所以此时P点的坐标为（$\frac{2+\sqrt{19}}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

解答 解：（1）∵点A（-1，0）和点B关于直线x=1对称，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
将C（0，-3）代入得-3=-3a，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
∵y=（x-1）²+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，-4）；
（2）设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C（0，-3），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
当x=1时，y=x-3=-2，则E（1，-2），
∴S_△BCD=S_△CDE+S_△BDE=$\frac{1}{2}$×（4-2）×1+$\frac{1}{2}$×（4-2）×2=3；
（3）设P点坐标为（t，t²-2t-3），
当点P在x轴下方时，即1＜m＜3时，连结OP，如图1，
∵S=S_△AOC+S_△POC+S_△POB=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×3×t+$\frac{1}{2}$×3（-t²+2t+3）=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6，
而S=$\frac{5}{2}$S_△BCD，
∴-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6=$\frac{5}{2}$×3，
整理得t²-3t+1=0，解得t₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍去），此时P点的坐标为（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$）；
当点P在轴的上方时，即m＞3，如图2，
∵S=S_△ABC+S_△PAB=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4（t²-2t-3）=2t²-4t，
而S=$\frac{5}{2}$S_△BCD
∴2t²-4t=$\frac{5}{2}$×3，
整理得4t²-8t-15=0，解得t₁=$\frac{2+\sqrt{19}}{2}$，t₂=$\frac{2-\sqrt{19}}{2}$（舍去），此时P点的坐标为（$\frac{2+\sqrt{19}}{2}$，$\frac{3}{4}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{2+\sqrt{19}}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图形的性质，记住三角形的面积公式；会解一元二次方程；会运用分类讨论的思想解决数学问题．