Question

20．如图，AD，AE是△ABC的∠BAC的内、外角平分线，过B作AD的垂线交AD的延长线于F，连FC并延长交AE于M，求证：AM=ME．

Answer 1

分析 延长BF，AC交于H，根据角平分线的定义和平角的定义得到∠FAE=90°，推出BF∥AE，于是得到△ACM∽△CFH，△BCF∽△CME，根据相似三角形的性质得到$\frac{AM}{FH}=\frac{CM}{CF}$，$\frac{ME}{BF}=\frac{CM}{CF}$，等量代换得到$\frac{AM}{FH}=\frac{ME}{BF}$，通过△ABF≌△AHF，得到BF=FH，于是求得结论．

解答 证明：延长BF，AC交于H，
∵AD、AE分别是△ABC的∠BAC内外角平分线，
∴∠FAE=90°，
∵BF⊥AD，
∴BF∥AE，
∴△ACM∽△CFH，△BCF∽△CME，
∴$\frac{AM}{FH}=\frac{CM}{CF}$，$\frac{ME}{BF}=\frac{CM}{CF}$，
∴$\frac{AM}{FH}=\frac{ME}{BF}$，
∵AD是∠BAC的平分线，且是BH边上的垂线，
∴∠BAF=∠HAF，∠AFB=∠AFH，
在△ABF与△AHF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠HAF}\\{AD=AD}\\{∠AFB=∠AFH}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△AHF，
∴BF=FH，
∴AM=ME．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．