Question

10．已知数列$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$…，记第一个数a₁，第二个数为a₂，…，第n个数为a_n，若a_n是方程$\frac{1+3x}{2}$=$\frac{x-1}{3}$+1的解，则n=37或49．

Answer 1

分析 整理整式方程求出方程的解，根据数列规律，将数列按照分母分组，可以发现每组同分母的分数个数等于分母乘以2再减1，再求出x的值在第几个即为n值．

解答 解：$\frac{1+3x}{2}$=$\frac{x-1}{3}$+1
两边同乘以6得：3+9x=2x-2+6
解得：x=$\frac{1}{7}$
∴a_n=$\frac{1}{7}$
分析数列如下：
$\frac{1}{1}$（分母为1时，1个数）
$\frac{1}{2}$'$\frac{2}{2}$'$\frac{1}{2}$（分母为2时，3个数）
以此类推，分母为3时，有5个数，分母为4时，有7个数，分母为5时，有9个数，分母为6时，有11个数，
前面所有分数个数为1+3+5+7+9+11=36
分母为7时，有13个数，第37个数和49个数都是$\frac{1}{7}$
故n=37或49．

点评 题目设计新颖，考察学生的观察能力和处理问题能力，特别注意$\frac{1}{7}$会在两个位置出现，因此n值会有两个解．