Question

如图，⊙O的直径AB=12cm，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别交于D、C两点，设AD=x，BC=y，求y关于x的函数解析式，并画出它的图象．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理及切线的性质定理即可求出y关于x的函数解析式；运用描点法作出函数的图象（草图）．

解答：解：如图1，过点D作DF⊥BC于点F；    
                            
∵AD、BC分别是⊙O的切线，
∴∠OAD=∠OBF=90°，
又∵DF⊥BC，
∴四边形ABFD为矩形，
∴DF=AB=12cm，BF=AD；
∵AD、BC、DC分别为⊙O的切线，
∴DE=DA=x，CE=CB=y，CF=y-x；
∴DC=x+y；
由勾股定理得：DC²=DF²+CF²，
即（x+y）²=（y-x）²+12²，
整理得：xy=36，
∴y=

36

x

，
∴y关于x的函数解析式y=

36

x

（x＞0）．
如图2，作图象：当x=3时，y=12；x=4时，y=9；x=6时，y=6，x=9时，y=4；
过点A（3，12）、B（4，9）、C（6，6）、D（9，4）
在坐标系内描点连线得函数的图象 （草图）

点评：该题考查了圆的切线及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理来解题．