对某种几何图形给出如下定义:符合一定条件的动点所形成的图形.叫做符合这个条件的点的轨迹．例如.平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.是以定点为圆心.定长为半径的圆．(1)如图1.在△ABC中.AB=AC.∠BAC=90°.A(0.2).B是x轴上一动点.当点B在x轴上运动时.点C在坐标系中运动.点C运动形成的轨迹是直线DE.且DE⊥x轴于点G� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．对某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如，平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆．
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，A（0，2），B是x轴上一动点，当点B在x轴上运动时，点C在坐标系中运动，点C运动形成的轨迹是直线DE，且DE⊥x轴于点G．则直线DE的表达式是x=2．
（2）当△ABC是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C形成的轨迹也是一条直线．
①当点B运动到如图2的位置时，AC∥x轴，则C点的坐标是（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2）．
②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式．
③设②中这条直线分别与x，y轴交于E，F两点，当点C在线段EF上运动时，点H在线段OF上运动，（不与O、F重合），且CH=CE，则CE的取值范围是$\frac{4\sqrt{3}}{9}$≤CE＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

分析（1）过C作CM⊥y轴，△DMA≌△AOB，可求得DM的长，可得出DE的表达式；
（2）①过C作CN⊥x轴于点N，由等边三角形的性质可求得CN和ON，可求得C点坐标；②可再求得满足条件的一个C点，如当C（0，-2）时，满足条件，利用待定系数数法可求得直线表达式；③以C为圆心，CE长为半径画圆，当该圆过点O时，此时CE有最大值（取不到该值），当该圆与y轴相切时，CE有最小值，再根据等腰三角形和平行线分线段成比例分别求得CE的值，即可求得答案．

解答解：
（1）过C作CM⊥y轴于点M，如图1，

∵∠BAC=90°，
∴∠CAM+∠BAO=∠MCA+∠CAM=90°，
∴∠BAO=∠MCA，
在△DMA和△AOB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCA=∠BAO}\\{∠CMA=∠AOB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△DMA≌△AOB（AAS），
∴MC=OA=2，且DE⊥x轴，
∴直线DE的表达式为x=2，
故答案为：x=2；
（2）①过C作CN⊥x轴于点N，如图2，

∵AC∥x轴，
∴CN=AO=2，
又△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BCN=30°，
∴AC=BC=$\frac{CN}{cos30°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴C点坐标为（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2），
故答案为：（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2）；
②由①知C点坐标为（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2），
且当C（0，-2）时，由A、C关于x轴对称可知在x轴上存在B点使△ABC为等边三角形，
∴点（0，-2）也在C点所形成的直线上，
设直线表达式为y=kx+b，
把点（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2）和（0，-2）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2=b}\\{2=\frac{4\sqrt{3}}{3}k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ k=\sqrt{3}\end{array}\right.$．
∴直线的表达式是y=$\sqrt{3}$x-2；
动点C运动形成直线如图3所示

③当点C在线段EF上时，以C为圆心，CE长为半径画圆，
当圆过点O时，如图4，边接CO，可知此时CE最长，

由②可求得E点坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），F（0，-2），
由勾股定理可求得EF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
由圆周角定理可知此时CE=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$，
当圆与y轴相切时，则切点即为满足条件的点H，连接CH，如图5，

此时CE的值时小，
∵HC∥OE，且CH=CE，
∴$\frac{HC}{OE}$=$\frac{FC}{EF}$=$\frac{EF-CE}{EF}$=$\frac{CE}{OE}$，即$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}-CE}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{CE}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$，解得CE=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
又点H与O、F不重合，
∴CE取不到最大值，
∴CE的取值范围为$\frac{4\sqrt{3}}{9}$≤CE＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{9}$≤CE＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．