Question

2．如图，直线AB交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于A、B两点，交x轴于点C（4a，0），AB=2BC，过点B作BM⊥x轴于点M，连接OA，若OM=3MC，S_△OAC=8，求k的值．

Answer 1

分析 连结OB，设B点坐标为（a，b），将B点坐标代入反比例解析式得到ab=k，确定出OM与BM的长，根据OM=3MC，表示出MC长，进而表示出三角形BOM与三角形BMC的面积，两面积之和表示出三角形BOC的面积，由AB=2BC，设点O到AC的距离为h，求出三角形BOC与三角形AOB面积之比，确定出三角形AOC的面积，由S_△OAC=8列出关于k的方程，解方程即可求出k的值．

解答 解：连结OB，设B（a，b）．
∵点B在函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴ab=k，且OM=a，BM=b，
∵OM=3MC，
∴MC=$\frac{1}{3}$a，
∴S_△BOM=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$k，S_△BMC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$ab=$\frac{1}{6}$ab=$\frac{1}{6}$k，
∴S_△BOC=S_△BOM+S_△BMC=$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{6}$k=$\frac{2}{3}$k，
∵AB=2BC，设点O到AC的距离为h，
则$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{\frac{1}{2}BC•h}{\frac{1}{2}AB•h}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AOB=2S_△BOC=$\frac{4}{3}$k，
∴S_△AOC=S_△AOB+S_△BOC=$\frac{4}{3}$k+$\frac{2}{3}$k=2k，
∵S_△AOC=8，
∴2k=8，
∴k=4．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．