题目内容
如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=
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（1）求直线BC的解析式；
（2）作DP垂直x轴交直线AB于点P，连结PQ交x轴于E点，取EQ的中点M，过M点作EQ的垂线交y轴于点N，求线段0N的长；
（3）作出点N关于直线PQ的对称点F，连结PF交BC于点H，在P、Q的运动过程中，是否存在△PEH是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：探究型
分析：（1）求得BC的坐标，再利用待定系数法求得直线BC的解析式；
（2）先求得△PGE≌△QCE，得到△N′QE是等边△，连接N′M，进一步得N′M是EQ的中位线，即N′就是N，再连接BE，有BE=EQ，BE=EN，ON=OB，即线段ON的长为2
；
（3）分两种情况：一、即E和O重合．此时t=1；二、求得PH直线的斜率为-
．进一步求得此时t=
．
（2）先求得△PGE≌△QCE，得到△N′QE是等边△，连接N′M，进一步得N′M是EQ的中位线，即N′就是N，再连接BE，有BE=EQ，BE=EN，ON=OB，即线段ON的长为2
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（3）分两种情况：一、即E和O重合．此时t=1；二、求得PH直线的斜率为-
a
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| 6 |
| 4 |
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解答：解：（1）在y=
x+2
中令x=0，解得：y=2
，则B的坐标是：（0，2
），令y=0解得：x=3，则A的坐标是：（-3，0）．
则OA=3，OB=2
，
∵tan∠BAC=tan∠OBC=
=
，
∴OC=2，
∴C的坐标是（2，0），
设直线BC的解析式是：y=kx+b，则
，
解得：
，
则BC的解析式是：y=-
x+2
；
（2）作PG∥BC，交AC于G，则
PG=2DG，AG=2PG，
∴AD=AG-DG=4DG-DG=3DG．
∴AD：PG=3DG：2DG=3：2．
而AD：CQ=3：2，
∴PG=CQ．再由PG∥CQ，
∴△PGE∽△QCE．
∴△PGE≌△QCE，即PE=EQ．
过直角△BQP作外接圆I，设圆I与y轴相交于点N，′
则∠PN′Q=90°，∠N′QP=∠PBN′=60°．
∴△N′QE是等边△，连接N′M，
∵M是EQ中点，
∴N′M是EQ的中位线，即N′就是N，再连接BE，有BE=EQ，
∴BE=EN，
∴ON=OB，即线段ON的长为2
；
（3）由（2）易知△NPF是等边△，∠EPH=∠EPN=30°，
若∠PEH=90°，则P、B、H、E四点共圆，
∴∠HBE=∠HPE=30°，即E和O重合．
即PO=QO=BO=2
，即P是AB中点．
∴D是AO中点，即|AO|=3．
此时t=1；
若∠PHE=90°，∵∠EPH=30°，
∴∠HEP=∠NEQ=60°．
∴N，E，H三点共线．
设点E坐标为（a，0），则NE直线方程为y=
-2
，
结合BC直线方程y=-
x+2
，可得
点H坐标为(
，
)，
又∵|OE|=a，
∴|CE|=2-a，|CG|=2|CE|=4-2a，
∴|AG|=|AC|-|CG|=8-4+2a=4+2a．
∴|AD|=3|AG|/4=3+
．
∴点D的坐标为（
-3，0）．
则点P的坐标为（
-3，
+
）．
由HP两点坐标即可得PH直线的斜率
，
又∵PH⊥NH，直线NH斜率为
，
∴PH直线的斜率为-
．
即
=-
．
化简得（a2+12）（3a-2）=0
∴a=
，即|AD|=3+
=4，
∴此时t=
．
综上知，仅当t=1或
时，△PEH是直角三角形．
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则OA=3，OB=2
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∵tan∠BAC=tan∠OBC=
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| OC |
| OB |
∴OC=2，
∴C的坐标是（2，0），
设直线BC的解析式是：y=kx+b，则
|
解得：
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则BC的解析式是：y=-
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（2）作PG∥BC，交AC于G，则
PG=2DG，AG=2PG，
∴AD=AG-DG=4DG-DG=3DG．
∴AD：PG=3DG：2DG=3：2．
而AD：CQ=3：2，
∴PG=CQ．再由PG∥CQ，
∴△PGE∽△QCE．
∴△PGE≌△QCE，即PE=EQ．
过直角△BQP作外接圆I，设圆I与y轴相交于点N，′
则∠PN′Q=90°，∠N′QP=∠PBN′=60°．
∴△N′QE是等边△，连接N′M，
∵M是EQ中点，
∴N′M是EQ的中位线，即N′就是N，再连接BE，有BE=EQ，
∴BE=EN，
∴ON=OB，即线段ON的长为2
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（3）由（2）易知△NPF是等边△，∠EPH=∠EPN=30°，
若∠PEH=90°，则P、B、H、E四点共圆，
∴∠HBE=∠HPE=30°，即E和O重合．
即PO=QO=BO=2
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∴D是AO中点，即|AO|=3．
此时t=1；
若∠PHE=90°，∵∠EPH=30°，
∴∠HEP=∠NEQ=60°．
∴N，E，H三点共线．
设点E坐标为（a，0），则NE直线方程为y=
2
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| a |
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结合BC直线方程y=-
| 3 |
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点H坐标为(
| 4a |
| 2+a |
2
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| 2+a |
又∵|OE|=a，
∴|CE|=2-a，|CG|=2|CE|=4-2a，
∴|AG|=|AC|-|CG|=8-4+2a=4+2a．
∴|AD|=3|AG|/4=3+
| 3a |
| 2 |
∴点D的坐标为（
| 3a |
| 2 |
则点P的坐标为（
| 3a |
| 2 |
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由HP两点坐标即可得PH直线的斜率
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又∵PH⊥NH，直线NH斜率为
2
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| a |
∴PH直线的斜率为-
a
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即
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a
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化简得（a2+12）（3a-2）=0
∴a=
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| 3a |
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∴此时t=
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综上知，仅当t=1或
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点评：本题主要考查了一次函数的综合应用，综合性强，难度较大．
练习册系列答案
探究与巩固河南科学技术出版社系列答案
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