题目内容
有一组等式：
12+22+22=32，
22+32+62=72，
32+42+122=132，
42+52+202=212
…
请观察它们的构成规律，用你发现的规律解答下面的问题：
（1）写出第8个等式为 ；
（2）试用含正整数n的等式表示你所发现的规律；
（3）说明你在（2）中所写等式成立的理由．
12+22+22=32，
22+32+62=72，
32+42+122=132，
42+52+202=212
…
请观察它们的构成规律，用你发现的规律解答下面的问题：
（1）写出第8个等式为
（2）试用含正整数n的等式表示你所发现的规律；
（3）说明你在（2）中所写等式成立的理由．
考点：整式的混合运算,规律型：数字的变化类
专题：计算题
分析：（1）观察一系列等式，得出第8个等式；
（2）归纳总结得到一般性规律写出即可；
（3）利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并即可证明．
（2）归纳总结得到一般性规律写出即可；
（3）利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并即可证明．
解答：解：（1）根据题意得：第8个等式为：82+92+722=732；
故答案为：82+92+722=732；
（2）归纳总结得：n2+（n+1）2+[n（n+1）]2=[n（n+1）+1]2，n为正整数；
（3）理由：n2+（n+1）2=n2+n2+2n+1=2n2+2n+1，[n（n+1）+1]2-[n（n+1）]2=（n2+n+1+n2+n）（n2+n+1-n2-n）=2n2+2n+1，
∴n2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2-[n（n+1）]2，
即n2+（n+1）2+[n（n+1）]2=[n（n+1）+1]2，
则（2）中的等式成立．
故答案为：82+92+722=732；
（2）归纳总结得：n2+（n+1）2+[n（n+1）]2=[n（n+1）+1]2，n为正整数；
（3）理由：n2+（n+1）2=n2+n2+2n+1=2n2+2n+1，[n（n+1）+1]2-[n（n+1）]2=（n2+n+1+n2+n）（n2+n+1-n2-n）=2n2+2n+1，
∴n2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2-[n（n+1）]2，
即n2+（n+1）2+[n（n+1）]2=[n（n+1）+1]2，
则（2）中的等式成立．
点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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