Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）首先证明∠DAC=∠BCE，进而利用AAS定理证明△DAC≌△ECB，问题即可解决．
（2）首先证明∠DAC=∠BCE，进而利用HL定理证明△ACD≌△CBE，问题即可解决．

解答：解：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠DAC+∠DCA=∠BCE+∠DCA，
∴∠DAC=∠BCE；
在△DAC与△ECB中，
∵

∠DAC=∠BCE ∠D=∠E AC=BC

，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=AD+BE．


（2）如图2，（1）中的结论不成立；
新的结论为：DE=AC-BE；
∵∠ACB=90°，AD⊥MN，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCE，
∴∠DAC=∠BCE；
在△ACD与△CBE中，
∵

∠DAC=∠ECB ∠ADC=∠CEB AC=BC

，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AC=CE，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AC-BE；
即DE=AC-BE．

点评：该命题在考查全等三角形的判定及其性质定理的同时，还渗透了对旋转变换的考查；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理解题．