题目内容
如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线运动，点P沿射线AB向右运动，点Q沿BC边的延长线向上运动．设线段PQ与直线AC交于点D，AP的长为x，△PCQ的面积为S．（1）直接写出S关于x的函数关系式；
（2）当△PCQ与△ABC的面积相等时，x=
（3）过P作直线AC的垂线，记垂足为点E，则线段DE的长度是否随点P、Q的运动而改变？若不变，请求出DE的长；若改变，请证明你的结论．
考点：全等三角形的判定与性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形
专题：计算题
分析：（1）根据题干条件可以计算出BQ和BP的长度，可以得出S与x的函数关系式；
（2）计算出△ABC的面积，代入（1）中即可求得x的值；
（3）过Q作QF⊥AC，交于AC延长线上F点，可证明DE=
AC．
（2）计算出△ABC的面积，代入（1）中即可求得x的值；
（3）过Q作QF⊥AC，交于AC延长线上F点，可证明DE=
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）P和Q速度相同，AP=x，则BP=AB-AP=2-x，CQ=x，
当x≤2时，△PCQ的面积为S=
BP•CQ=
x（2-x），
当x＞2时，△PCQ的面积为S=
BP•CQ=
x（x-2）；
（2）当△PCQ与△ABC的面积相等时，
当x≤2时，
x（2-x）=
×2×2，无解，
当x＞2时，
x（x-2）=
×2×2，解方程得x=
+1；
（3）过Q作QF⊥AC，交于AC延长线上F点，则△QCF为等腰直角三角形，
∵等腰直角△APE和等腰直角△CQF中斜边AP=CQ，
∴△APE≌△CQF，∴CF=AE，QF=EP
在△DEP和△DFQ中，
，
∴△DEP≌△DFQ（AAS），
∴DF=DE，
∵AE=CF，∴AC=EF，
∴DE=
EF=
AC，
∵AC=
=2
，
∴DE=
．
当x≤2时，△PCQ的面积为S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当x＞2时，△PCQ的面积为S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）当△PCQ与△ABC的面积相等时，
当x≤2时，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当x＞2时，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
（3）过Q作QF⊥AC，交于AC延长线上F点，则△QCF为等腰直角三角形，
∵等腰直角△APE和等腰直角△CQF中斜边AP=CQ，
∴△APE≌△CQF，∴CF=AE，QF=EP
在△DEP和△DFQ中，
|
∴△DEP≌△DFQ（AAS），
∴DF=DE，
∵AE=CF，∴AC=EF，
∴DE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵AC=
| AB2+BC2 |
| 2 |
∴DE=
| 2 |
点评：本题考查了一元二次方程的应用，考查了等腰直角三角形的性质，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．
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