Question

6．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+5与x轴交于点A，与y交于点B，与抛物线y=ax²+bx交于点C、D．已知点C坐标为（1，7），点C横坐标为5．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，求△PCD的面积．

Answer 1

分析 （1）把点C的坐标（1，7）代入y=kx+5得到k的值，从而得到一次函数的解析式；把x=5代入y=2x+5，得y=15，得到D点坐标，把C（1，7）、D（5，15）代入y=ax²+bx，即可组成方程组求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线解析式求得点P的坐标，然后根据三角形的面积公式进行解答即可．

解答 解：（1）把点C的坐标（1，7）代入y=kx+5得，7=k+5，
解得k=2，
∴y=2x+5，
把x=5代入y=2x+5，得y=15，
∴D（5，15）．
把C（1，7）、D（5，15）代入y=ax²+bx，得a=-1，b=8，
∴y=-x²+8x；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=-x²+8x=-（x-4）²+16，则顶点P（4，16）．
则对称轴为x=4．
设x=4与直线CD交于点E．
又C（1，7）、D（5，15），
∴直线CD的解析式为：y=2x+5．
把x=4代入得到：y=2×4+5=13，
∴E（4，13），
∴PE=3．
故S_△PCD=$\frac{1}{2}$×3×4=6．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数交点问题．求函数解析式的过程就是一个列代数式的过程，求线段的长度的问题一般要转化为求点的坐标的问题．