Question

18．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为4，则它的“面径”长x的取值范围是2$\sqrt{2}$≤x≤2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质，①最长的面径是等边三角形的高线；②最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径．

解答 解：如图，

①等边三角形的高AD是最长的面径，
AD=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$；
②当EF∥BC时，EF为最短面径，
此时，（$\frac{EF}{BC}$）²=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{EF}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得EF=2$\sqrt{2}$．
所以，它的面径长2$\sqrt{2}$≤x≤2$\sqrt{3}$
故答案为：2$\sqrt{2}$≤x≤2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长的面径是解题的关键．