Question

（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=

 

．
（2）问题解决：
如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．
（3）问题拓展：
抛物线y=-

1

4

(x-1)2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，
（3）①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D、C、Q、E共圆，得出∠CQB=∠OED=45°，求出CQ，再求点Q的坐标．
②分两种情况，Ⅰ、当30°的角的顶点与点C重合时，Ⅱ、当60°的角的顶点与点C重合时，运用点D、C、Q、E共圆，求出CQ即点P的横坐标，再代入抛物线求出点P的纵坐标，即可求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD=AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC=

1

2

∠BAC=40°，
（2）如图2，

∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BDC=25°，
∴∠BAC=25°，
（3）①如图3

∵点B为抛物线y=-

1

4

(x-1)2+3的顶点，
∴点B的坐标为（1，3），
∵45°角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，
∴点D、C、Q、E共圆，
∴∠CQB=∠CED=45°，
∴CQ=BC=3，
∴OQ=4，
∴点Q的坐标为（4，0），
②如图4，

Ⅰ、当30°的角的顶点与点C重合时，
∵直角三角板30°角的顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上
∴点D、C、Q、E共圆，
∴∠CQB=∠CED=60°，
∴CQ=

3

3

BC=

3

，
∴OQ=1+

3

，
∴把1+

3

代入y=-

1

4

(x-1)2+3得y=

9

4

，
∴点P的坐标是（1+

3

，

9

4

）
Ⅱ、如图5，

当60°的角的顶点与点C重合时，
∵直角三角板60°角的顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上
∴点D、C、Q、E共圆，
∴∠CQB=∠CED=30°，
∴CQ=

3

BC=3

3

，
∴OQ=1+3

3

，
∴把1+3

3

代入y=-

1

4

(x-1)2+3得y=-5，
∴点P的坐标是（1+3

3

，-5）
综上所述，点P的坐标是（1+

3

，

9

4

）或（1+3

3

，-5）．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．