Question

12．如图：在等腰Rt△ABC中，BD=AE，BF与DE垂直，求证：ED=BF．

Answer 1

分析 作EM⊥AB交AC于M，连接DM、BM，BM交DE于O．首先证明四边形BDME是矩形，推出DE=BM，OB=OE，再证明△CBF≌△ABM，即可解决问题．

解答 证明：作EM⊥AB交AC于M，连接DM、BM，BM交DE于O．
∵BC=BA，∠CBA=90°，
∴∠A=∠C=45°，
∵∠MEA=90°，
∴∠EMA=∠A=45°，
∴EM=EA=BD，∵DB∥EM，
∴四边形BDME是平行四边形，
∵∠DBE=90°，
∴四边形BDME是矩形，
∴DE=BM，OB=OE，
∵BF⊥DE，
∴∠CBF+∠BDE=90°，∠BDE+∠BED=90°，
∴∠CBF=∠BED=∠ABM，
∵BC=AB，∠A=∠C，
∴△CBF≌△ABM，
∴BF=BM=DE．
∴ED=BF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．