Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=4，直线y=2x-4经过点C，交y轴于点G．
（1）点C、D的坐标分别是C （

 

，

 

），D（

 

，

 

）；
（2）求顶点在直线y=2x-4上且经过点C、D的抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线y=2x-4平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由BC=4就可以得出C点的纵坐标为4，将y=4代入解析式y=2x-4求出x的值就可以求出B的坐标及C的坐标，同时可以得出OB的值，由AB=3就可以求出OA的值，而得出D的坐标；
（2）由C、D的纵坐标相等就可以求出抛物线的对称轴，由顶点在直线GC上就可以求出顶点坐标，再由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（3）根据抛物线沿直线y=2x-4平移，设抛物线的顶点坐标为（m，2m-4），则抛物线的解析式为y=

4

3

（x-m）²+2m-4．分情况．当m＞0时，如图1，当EF=EG时，由两点间的距离公式可以得出EF=EG=

5

m，OH=4-2m，HG=2m，OF=4m-4，F的坐标为（0，4m-4），代入解析式就可以求出结论；如图2，GE=GF时，得出GE=GF=

5

m，OF=4-

5

m，F（0，

5

m-4），代入解析式就可以求出结论；当m＜0时，如图3，GE=GF时，得出GE=GF=-

5

m，OF=-4-

5

m，F（0，-

5

m-4），代入解析式就可以求出结论；当EF=EG时不存在．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥AB．
∵BC=4，
∴C的纵坐标为4，AD=3．
∴4=2x-4，
∴x=4，
∴C（4，4），
∴OB=4．
∵AB=3，
∴OA=1，
∴（1，4）
故答案为：C（4，4）D（1，4）；
（2）∵CD∥x轴，C（4，4）D（1，4）；
∴抛物线的对称轴为：x=

4+1

2

=2.5，
∴y=2×2.5-4=1，
∴顶点坐标为（2.5，1）．
设抛物线的解析式为：y=a（x-2.5）²+1，由题意，得
4=a（4-2.5）²+1，
解得：a=

4

3

，
∴抛物线的解析式为：y=

4

3

（x-

5

2

）²+1；
（3）∵抛物线的顶点在直线y=2x-4上平移，设顶点作表为（m，2m-4），
∴抛物线的解析式为y=

4

3

（x-m）²+2m-4．
当m＞0时，如图1，当EF=EG时，作EH⊥y轴，
FH=GH．
∴OH=4-2m，
∴HG=4-（4-2m）=2m，
∴OF=2m-（4-2m）=4m-4，
∴F（0，4m-4），
∴4m-4=

4

3

（0-m）²+2m-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=

3

2

；
∴2m-4=-1，
∴E（

3

2

，-1）；
如图2，GE=GF时，得出GE=GF=

(m-0)2+[2m-4-(-4)]2

=

5

m．
∵OG=4，
∴OF=4-

5

m，
∴F（0，

5

m-4），
∴

5

m-4=

4

3

（0-m）²+2m-4，
∴m₁=0（舍去），m₂=

3 5 -6

4

，
∴2m-4=

3 5 -14

2

，
∴E（

3 5 -6

4

，

3 5 -14

2

）；
当m＜0时，如图3，GE=GF时，得出GE=GF=

(m-0)2+[2m-4-(-4)]2

=-

5

m，
∵OG=4，
∴OF=-

5

m-4，
∴F（0，-

5

m-4），
∴-

5

m-4=

4

3

（0-m）²+2m-4，
∴m₁=0，m₂=

-6-3 5

4

，
∴2m-4=

-14-3 5

2

，
∴E（

-6-3 5

4

，

-14-3 5

2

）．
当EF=EG时不存在．
∴E的坐标为：（

3

2

，-1）；（

3 5 -6

4

，

3 5 -14

2

）；（

-6-3 5

4

，

-14-3 5

2

）．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，抛物线的性质和它的顶点式的运用，两点间的距离公式的运用，一次函数的性质和分类讨论思想的运用．解答时求出二次函数的解析式是关键．