题目内容
7．在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图①）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图②）．
如图②所示建立平面直角坐标系，请解答以下问题：
（Ⅰ）设直线BM的解析式为y=kx，求k的值；
（Ⅱ）若MN的延长线与矩形ABCD的边BC交于点P，设矩形的边AB=a，BC=b；
（i）若a=2，b=4，求P点的坐标；
（ii）请直接写出a、b应该满足的条件．
分析 （Ⅰ）连接AN，延长MN交BC于点P，由折叠的性质可证△BMP为等边三角形，由M点的坐标可求得k的值；
（Ⅱ）（i）在Rt△ABM中，由三角形的性质可求得BM的长，则可求得BP的长，可求得P点坐标；
（ii）由题意可知BC≥BP，在Rt△BNP中，由三角函数的定义可用a表示出BP，则可得到a、b所满足的条件．
解答 解：
（Ⅰ）连接AN，延长MN交BC于点P，如图，
∴EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
由折叠知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠PBN=30°，
∵∠ABM=∠NBM=30°，
∴∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，
∴△BMP是等边三角形，
∵点M在直线y=kx上，
∴k=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=tan60°=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）（i）由题意可知AB=a=2，
在Rt△ABM中，cos∠ABM=$\frac{AB}{BM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2}{BM}$，解得BM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BP=BM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴P（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）；
（ii）由题意可知BC≥BP，
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴BP=$\frac{a}{cos30°}$，
∴b≥$\frac{a}{cos30°}$，
∴a≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$b．
点评 本题为一次函数的综合应用，涉及折叠的性质、等边三角形的判定和性质、三角函数的定义等知识．在（Ⅰ）中证得△BMP是等边三角形是解题的关键，在（Ⅱ）中求得BP的值是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
阅读快车系列答案| A． | 4 | B． | 5 | C． | 6 | D． | 8 |
如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．
如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点E在AB上，作DE⊥AB交AC的延长线于点D，过点C作⊙O的切线CF交DE于点F．
如图，已知∠A=∠D，有下列五个条件：①AE=DE，②BE=CE，③AB=DC，④∠ABC=∠DCB，⑤AC=BD，能证明△ABC与△DCB全等的条件有几个？并选择其中一个进行证明．睡眠情况分段情况如下
| 组别 | 睡眠时间x（小时） |
| A | 4.5≤x＜5.5 |
| B | 5.5≤x＜6.5 |
| C | 6.5≤x＜7.5 |
| D | 7.5≤x＜8.5 |
| E | 8.5≤x＜9.5 |
（Ⅰ）直接写出统计图中a的值5%；
（Ⅱ）睡眠时间少于6.5小时为严重睡眠不足，则从该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大？
如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，已知斜坡CD长6$\sqrt{2}$米，坡角∠DCE等于45°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的顶点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2$\sqrt{3}$，则阴影部分图形的面积为（ ）| A． | 4π | B． | 2π | C． | π | D． | $\frac{2π}{3}$ |