Question

15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点E在AB上，作DE⊥AB交AC的延长线于点D，过点C作⊙O的切线CF交DE于点F．
（1）求证：CF=DF；
（2）若AB=10，BE=2.8，sin∠ADE=$\frac{3}{5}$，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCF=90°，则∠1+∠2=90°，再利用∠1=∠A和互余可得到∠2=∠D，所以FC=FD；
（2）连接BC交DE于G，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则∠D=∠B，利用三角函数，在Rt△ADE中，计算出AD=12，在Rt△ACB中计算出AC=6，则CD=6，接着利用sinD=$\frac{CG}{DG}$=$\frac{3}{5}$设CG=3x，则DG=5x，CD=4x，于是可计算出x=$\frac{3}{2}$，最好证明FC=FD=FG，于是得到DF=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{15}{4}$．

解答 （1）证明：连接OC，如图，
∵CF为切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵OA=OC，
∴∠1=∠A，
∴∠A+∠2=90°，
而DE⊥AE，
∴∠D+∠A=90°，
∴∠2=∠D，
∴FC=FD；
（2）解：连接BC交DE于G，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠D=∠B，
∵AB=10，BE=2.8，
∴AE=7.2，
在Rt△ADE中，∵sin∠ADE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{5}$，
∴AD=$\frac{7.2}{\frac{3}{5}}$=12，
在Rt△ACB中，sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AC=$\frac{3}{5}$×10=6，
∴CD=12-6=6，
∵∠D+∠DGC=90°，∠2+∠FCG=90°，
∴∠FGC=∠FCG，
∴CF=DF=FG，
在Rt△CDG，sinD=$\frac{CG}{DG}$=$\frac{3}{5}$，
设CG=3x，则DG=5x，
∴CD=4x，
∴4x=6，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴DG=5x=$\frac{15}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．