题目内容
1．有一张梯形纸片ABCD，DC∥AB，∠DAB=90°，将△ADC沿AC折叠，点D恰好落在BC的中点E上（如图①）．（1）求证：∠DAC=∠EAB；
（2）当上底DC=10cm时，求梯形两腰AD、BC的长；
（3）若过E作EF⊥AB于F，现将这张梯形纸片沿AE、EF剪成三块，然后按如图②所示拼成四边形HDAE（对应部分有相同的编号），那么四边形HDAE是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（4）请你分别在图③、④中画出两条分割线（虚线），同样将梯形纸分成三块，然后分别拼成与图②中的形状相同但位置不一样的特殊四边形和一个正六边形，要求仿图②方法分别在图③、图④中画出拼图（不证明）．
分析 （1）由E是BC的中点，∠CEA=90°，得到AE垂直平分BC，由等腰三角形的性质得到∠BAE=∠CAE，由折叠的性质得∠CAE=∠DAC，于是得到结论；
（2）证得△ABC是等边三角形，由三角函数即可的结果；
（3）四边形HDAE是菱形，由题意和拼图可知：点H、K、E共线，HE是四边形HDAE的一边，由平移得到△BFE≌△CKE，△AFE≌DKH，由折叠的性质可知；AD=AE，推出AE=DH=AD=HE，即可证得结论；
（4）如图所示：菱形AHED，正六边形AFECDG即为所求．
解答 （1）证明：∵DC∥AB，∠DAB=90°，
∴∠ADC=90°，
由折叠的性质得：∠AEC=∠ADC=90°，
∴∠CEA=90°，
∵E是BC的中点，
∴AE垂直平分BC，
∴AC=AB，
∴∠BAE=∠CAE，
由折叠的性质得：∠CAE=∠DAC，
∴∠DAC=∠EAB；
（2）解：∵CD∥AB，∠DAB=∠CDA=90°，
∴∠DAC=$\frac{1}{3}$∠DAB=30°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
在Rt△ADC中，∵CD=10，
∴AC=20，AD=10$\sqrt{3}$，
∴BC=AC=20cm；
（3）四边形HDAE是菱形，
证明：由题意和拼图可知：点H、K、E共线，HE是四边形HDAE的一边，△BFE≌△CKE，△AFE≌DKH，
∴KH=KE=EF，AE=DH，
∵∠EAF=30°，∠EFA=90°，
∴AE=2EF=HE，
由折叠的性质可知；AD=AE，
∴AE=DH=AD=HE，
∴四边形HDAE是菱形；
（4）解：如图所示：菱形AHED，正六边形AFECDG即为所求．
点评 本题考查了图形的变换-折叠，平移，菱形的性质，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
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