题目内容

6．△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．
小聪和小明各给出了一种想法：
（1）小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长（结果用含根号的式子表示，不要求化简）．

分析 过点A作AH⊥BC于H交FG于K，设正方形的边长为x，然后求出△AGF和△ABC相似，利用相似三角形对应边高的比等于相似比列式计算即可得解．

解答 解：如图，过点A作AH⊥BC于H交FG于K，设正方形的边长为x，
∵等边△ABC的边长为2，
∴AH=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵正方形对边DE∥FG，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{AK}{AH}$=$\frac{GF}{BC}$，
即$\frac{\sqrt{3}-x}{\sqrt{3}}$=$\frac{x}{2}$，
解得x=4$\sqrt{3}$-6．
答：小正方形的边长为4$\sqrt{3}$-6．

点评 本题考查了相似三角形的应用，等边三角形的性质，正方形的性质，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质是解题的关键．

练习册系列答案
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15．计算：
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