Question

3．在△ABC中，∠ABC=45°，AB=4$\sqrt{2}$，BD⊥BC，且BD=2，若AD⊥AC，则S_△ABC=12或20．

Answer 1

分析 分两种情况：（1）当A，D在BC同侧时，如图1所示，作AE⊥BD交BD的延长线于E，连结DC；（2）当A，D在BC异侧时，如图2所示，作AE⊥BD交BD的延长线于E，连结DC；根据四点共圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理得到DE，BC，再根据三角形面积公式即可求解．

解答 解：（1）当A，D在BC同侧时，如图1所示，作AE⊥BD交BD的延长线于E，连结DC，
∵BD⊥BC，AD⊥AC，
∴A，D，B，C四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC=45°=∠ABE，
∴△ADC和△ABE都是等腰直角三角形，
∵AB=4$\sqrt{2}$，
∴AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4$\sqrt{2}$=4，
∵BD=2，
∴DE=BE-BD=2，
∴AD²=AE²+DE²=4²+2²=20，
∴DC²=2AD²=40，
∴BC=$\sqrt{D{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{40-4}$=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•BE=12；

（2）当A，D在BC异侧时，如图2所示，作AE⊥BD交BD的延长线于E，连结DC，
∵BD⊥BC，AD⊥AC，
∴A，D，B，C四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC=45°=∠ABE，
∴△ADC和△ABE都是等腰直角三角形，
∵AB=4$\sqrt{2}$，
∴AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4$\sqrt{2}$=4，
∵BD=2，
∴DE=BE+BD=6，
∴AD²=AE²+DE²=4²+6²=52，
∴DC²=2AD²=104，
∴BC=$\sqrt{D{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{104-4}$=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•BE=20．
故S_△ABC=12或20．
故答案为：12或20．

点评 考查了勾股定理，涉及的知识点有：四点共圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，分类思想的运用，解题的关键是得到DE，BC的长．