Question

12．已知在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，点P是梯形内一点，且PA=1，PB=2，PC=3
（1）求∠APB的度数；
（2）求边AB的平方．

Answer 1

分析 （1）将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，构造两个直角三角形：Rt△PBE和Rt△PCE，利用勾股定理逆定理解答即可；
（2）连接PE、CE、AC，则PE=2$\sqrt{2}$．由SAS定理得出△ABP≌△CBE，故∠APB=∠CEB，CE=PA=1．根据∠APE=∠APB+∠BPE=180°可得出A、P、E三点共线，AE=PA+PE，再由S_△ABC=S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC，即可得出结论．

解答 解：（1）如图，

将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合；
则∠PBE=90°，BE=BP=2，EC=PA=1；
由勾股定理得：PE²=2²+2²=8；
∵EC²=1²=1，PC²=3²=9，
∴PC²=PE²+EC²，
∴∠PEC=90°；而∠BEP=45°，
∴∠BEC=135°，∠APB=∠BEC=135°；

（2）如图，连接PE、CE、AC，则PE=2$\sqrt{2}$．

∵∠ABC=90°=∠PBE，
∴∠ABP=∠CBE．
∵AB=BC，BP=BE，
在△ABP与△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBE}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBE（SAS），
∴∠APB=∠CEB，CE=PA=1．
∵PE²+CE²=P=PC²，
∴∠PEC=90°，
∴∠APB=∠CEB=135°，
∴∠APE=∠APB+∠BPE=180°，
∴A、P、E三点共线，
∴AE=PA+PE=1+2$\sqrt{2}$，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•CE=$\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$，S_△PBE=$\frac{1}{2}$PB•BE=2，
∴S_△ABC=S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC
=S_△EBC+S_△PBC+S_△PAC
=S_△PBE+S_△ACE
=$\frac{5+2\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$AB²，
∴AB²=5+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是旋转的性质，勾股定理逆定理，三角形的面积，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．