Question

9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，点P是边AB的中点，点Q为边BC上的动点，联结PQ，作B关于PQ的对称点B′，则B′D长度的最小值是2$\sqrt{7}$-2．

Answer 1

分析 如图，当P、B′、D共线时，B′D最小，作PM⊥DA交DA的延长线于M，先求出PM、AM，再求出PD即可解决问题．

解答 解：如图，当P、B′、D共线时，B′D最小，作PM⊥DA交DA的延长线于M，
在RT△APM中，∵∠AMP=90°，AP=2，∠MAP=60°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AP=1，PM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$，
在RT△PMD中，PD=$\sqrt{P{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴DB′的最小值=PD-PB′=2$\sqrt{7}$-2．
故单位2$\sqrt{7}$-2．

点评 本题考查菱形的性质、最小值问题勾股定理等知识，解题的关键是找到DB′最小时的位置，属于最小值问题中比较难的题目，记住解题的方法，寻找特殊位置取得最小值，属于中考常考题型．