Question

19．在△ABC中，CD是AB边上的中线，F是CD的中点，过点C作AB的平行线交BF的延长线于点E，连接AE
（1）求证：EC=DA；
（2）填空：
①当AC⊥CB时，四边形AECD的形状是菱形；
②当AC=CB时，四边形AECD的形状是矩形．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得出∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，F是CD的中点，得出FD=CF，再利用AAS证明△FEC与△FBD全等，进一步证明即可；
（2）利用直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，得出CD=DA，进一步得出结论即可；
（3）由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵EC∥AB，
∴∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，
∵F是CD的中点，
∴FD=CF，
在△FEC与△FBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠DBF}&{\;}\\{∠ECF=∠BDF}&{\;}\\{FD=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FEC≌△FBD（AAS），
∴EC=BD，
又∵CD是AB边上的中线，
∴BD=DA，
∴EC=DA．
（2）解：AC⊥CB时，四边形AECD是菱形；理由如下：
∵EC=AD，EC∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC⊥CB，CD是AB边上的中线，
∴CD=AD=BD，
∴四边形AECD是菱形；故答案为：⊥．
（3）解：当AC=CB时，四边形AECD的是矩形；理由如下：
∵AB=AC，CD是AB边上的中线，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
又∵四边形AECD是平行四边形，
∴四边形AECD的是矩形；
故答案为：=．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．