Question

20．在一个口袋中有七个大小和形状完全相同的小球，分别标有数字-6，-5，-4．-3，-2，2，1．现从袋中抽出一个小球记上面的数字为a，则使得二次函数y=（x+1）²+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程$\frac{ax}{x-2}$=2-$\frac{3x+2}{x-2}$有整数解的概率是$\frac{3}{7}$．

Answer 1

分析 求出二次函数的顶点坐标，根据题意确定a的范围，解出分式方程，确定分式方程有整数解时a的范围，求出公共部分，根据概率公式计算即可．

解答 解：二次函数y=（x+1）²+a+1的顶点坐标为：（-1，a+1），
当顶点落在第三象限时，a+1＜0，即a＜-1，
则符合条件的a的值为-6，-5，-4．-3，-2，
$\frac{ax}{x-2}$=2-$\frac{3x+2}{x-2}$，
去分母，得ax=2（x-2）-（3x+2），
去括号，得ax=2x-4-3x-2，
移项、合并同类项，得（a+1）x=-6，
系数化为1，得x=-$\frac{6}{a+1}$，
当x=-4．-3，-2，2，1时，分式方程有整数解，
综上所述，当x═-4．-3，-2时，二次函数y=（x+1）²+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程$\frac{ax}{x-2}$=2-$\frac{3x+2}{x-2}$有整数解，
所以使得二次函数y=（x+1）²+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程$\frac{ax}{x-2}$=2-$\frac{3x+2}{x-2}$有整数解的概率是$\frac{3}{7}$，
故答案为：$\frac{3}{7}$．

点评 本题考查的是二次函数的性质、分式方程的解法以及几何概率的求法，掌握二次函数顶点坐标的确定方法、解分式方程的一般步骤是解题的关键．