Question

19．如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-2ax+c与x轴的正半轴相交于点A、与y轴的正半轴相交于点B，它的对称轴与x轴相交于点C，且∠OBC=∠OAB，AC=3．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果点D在此抛物线上，DF⊥OA，垂足为F，DF与线段AB相交于点G，且S_△ADG：S_△AFG=3：2，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出抛物线的对称轴，进而求出点A坐标，结合∠OBC=∠OAB，即可求出OB的长度，点B的坐标求出，利用待定系数法列出a和c的二元一次方程组，求出a和c的值，抛物线的表达式即可求出；
（2）由S_△ADG：S_△AFG=3：2得DG：FG=3：2，DF：FG=5：2，设OF=m，得AF=4-m，用m表示出DF的长，由FG∥OB，可用m表示出FG，由比例列出等式，求出m的值，进而求出D点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+c的对称轴为直线x=-$\frac{-2a}{a}$=1，
∴OC=1，OA=OC+AC=4，
∴点A（4，0），
∵∠OBC=∠OAB，
∴tan∠OAB=tan∠OBC，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OC}{OB}$，
∴$\frac{OB}{4}=\frac{1}{OB}$，
∴OB=2，
∴点B（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}2=c\\ 0=16a-8a+c\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{1}{2}x+2$．

（2）由S_△ADG：S_△AFG=3：2得DG：FG=3：2，DF：FG=5：2，
设OF=m，得AF=4-m，$DF=-\frac{1}{4}{m^2}+\frac{1}{2}m+2$，
由FG∥OB，得$\frac{FG}{OB}=\frac{AF}{OA}$，
∴$FG=\frac{4-m}{2}$，
∴$（-\frac{1}{4}{m^2}+\frac{1}{2}m+2）：\frac{4-m}{2}=5：2$，
∴m²-7m+12=0，
∴m₁=3，m₂=4（不符合题意，舍去），
当m=3时，D点纵坐标为$\frac{5}{4}$，
∴点D的坐标是（3，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、比例的性质以及一元二次方程的解法，解答本题的关键求出点B的坐标，此题难度不大．