Question

11．如图，AF为△ABC的平分线，以BC为直径的⊙0交AB于D，$\widehat{BE}=\widehat{DE}$，AF⊥CE，AB交CE于H．
（1）求证：AC为⊙0的切线；
（2）若BC=8，BH=4，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=∠ADC=90°，证出∠DCE=∠3，由角平分线和圆周角定理得出∠3=∠4，∠BCE=∠DCE，得出∠BCE=∠4，因此∠BCE+∠ACE=90°，即可得出结论；
（2）由角平分线的性质定理得出CD=2DH，设DH=x，则CD=2x，在Rt△BCD中，由勾股定理得出方程，解方程求出DH=2.4，CD=4.8，BD=6.4，由射影定理求出AD，得出AB，由勾股定理求出AC，再由角平分线的性质定理即可求出CF的长．

解答 （1）证明：连接CD，如图所示：
∵BC是⊙0的直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵AF⊥CE，
∴∠DCE+∠1=90°，∠4+∠ACE=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠DCE=∠3，
∵AF为△ABC的平分线，$\widehat{BE}=\widehat{DE}$，
∴∠3=∠4，∠BCE=∠DCE，
∴∠BCE=∠4，
∴∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠BCA=90°，
即AC⊥BC，
∴AC为⊙0的切线；
（2）解：由（1）得：∠BCE=∠DCE，
∴CE是∠BCD的平分线，
∴$\frac{DH}{BH}=\frac{CD}{BC}$，
即$\frac{DH}{4}=\frac{CD}{8}$，
∴CD=2DH，
设DH=x，则CD=2x，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
（2x）²+（4+x）²=8²，
解得：x=2.4，或x=-4（舍去），
∴DH=2.4，CD=4.8，
∴BD=6.4，
由射影定理得：CD²=BD•AD，
∴AD=$\frac{C{D}^{2}}{6.4}$=3.6，
∴AB=BD+AD=10，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6，
∵AF为∠BAC的平分线，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{CF}{8-CF}=\frac{6}{10}$，
解得：CF=3．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、角平分线的性质定理、射影定理等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要运用角平分线的性质定理和勾股定理、射影定理才能得出结果．