题目内容
8．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=12cm，动点P从点B出发，沿BA向A运动，运动速度为1cm/s，动点Q从点C出发，沿CA向A运动，运动速度为2cm/s．P，Q两个动点同时出发，t表示运动时间，在0＜t≤4时．（1）求t为何值，△APQ是等腰三角形．
（2）求t为何值，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）线段BC上是否存在一点，使四边形APDQ是平行四边形？若存在，请直接写出CD的长度（不必写具体求解过程）；若不存在，请说明理由．
分析 （1）先由AB=6，AC=8，BC=12，判断出△ABC为直角三角形，由运动表示出AP，AQ即可，
（2）已知夹角相等，要两三角形相似，边成比例，分两种情况计算；
（3）由∠A=90°，要是平行四边形，必须∠APD=90°，同理∠AQD=90°，所以点D是BC的中点．
解答 解：（1）∵AB=6，AC=8，BC=12，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∵△APQ为等腰三角形，
∴AP=AQ，
∵BP=t，CQ=2t，
∴AP=6-t，AQ=8-2t，
∴6-t=8-2t，
∴t=2；
即t=2时，△APQ为等腰三角形；
（2）∵以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$或$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$，
当$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$时，
∴$\frac{6-t}{6}=\frac{8-2t}{8}$，
∴t=0（舍）
当$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$时，
∴$\frac{6-t}{8}=\frac{8-2t}{6}$，
∴t=$\frac{14}{5}$，
即：t=$\frac{14}{5}$时△APQ∽△ACB；
（3）如图，
假设线段BC上是存在一点，使四边形APDQ是平行四边形，
∴PD∥AQ，PD=AQ，
$\frac{PD}{AC}=\frac{PB}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$
∴$\frac{AQ}{AC}=\frac{BP}{AB}$，
∴$\frac{8-2t}{8}=\frac{t}{6}$
∴t=2.4
∴PB=2.4，
∴$\frac{2.4}{6}=\frac{CD}{12}$
∴CD=4.8．
即：存在点D，CD=4.8时，四边形APDQ是平行四边形．
点评 本题是相似三角形综合题，主要考查相似三角形的性质和判定，解本题的关键是找到相似，本题的难点是分情况计算．
如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
| A． | y=2016x+m | B． | y=$\frac{x}{2{x}^{2}+1}$+$\frac{m}{x}$ | C． | y=x2-2016 | D． | y=$\frac{{x}^{2}}{|x|}$ |
如图，在?ABCD中，点E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD．