题目内容
19．（1）如图1中，△ABC为正三角形，点E为AB边上任一点，以CE为边作正△DEC，连结AD．求$\frac{BE}{AD}$的值．（2）如图2中，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，点E为腰AB上任意一点，以CE为斜边作等腰直角△CDE，连结AD．求$\frac{BE}{AD}$的值；
（3）如图3中，△ABC为任意等腰三角形，点E为腰AB上任意一点，以CE为底边作等腰△DEC，使△DEC∽△ABC，并且BC=$\sqrt{n}$AC．连结AD，直接写出$\frac{BE}{AD}$的值．
分析 （1）由三角形ABC与三角形CDE都为正三角形，得到AB=AC，CE=CD，以及内角为60°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用SAS得到三角形ECB与三角形DCA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AD，即可求出所求之比；
（2）由三角形CDE与三角形ABC都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到CE=$\sqrt{2}$CD，BC=$\sqrt{2}$AC，以及锐角为45°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形ECB与三角形DCA相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出所求之比；
（3）仿照前两问，以此类推得到一般性规律，求出所求之比即可．
解答 解：（1）∵△ABC和△CDE都是正三角形，
∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，AB=AC，CE=DC，
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=60°-∠ACE，
∠DCA=∠DCE-∠ACE=60°-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△ECB和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠ECB=∠DCA}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
则$\frac{BE}{AD}$=1；
（2 ）∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，
∴∠B=∠ACB=∠DCE=45°，CE=$\sqrt{2}$DC，BC=$\sqrt{2}$AC，
∴$\frac{CE}{DC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-∠ACE，
∠ACD=∠DCE-∠ACE=45°-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB∽△DCA，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$；
（3）依此类推，当BC=$\sqrt{n}$AC时，$\frac{BE}{AD}$=$\sqrt{n}$，理由为：
∵等腰△ABC和等腰△CDE中，
∴∠B=∠ACB=∠DCE，CE=$\sqrt{n}$DC，BC=$\sqrt{n}$AC，
∴$\frac{CE}{DC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{n}$，
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE，∠ACD=∠DCE-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB∽△DCA，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{n}$．
点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
| A． | （-1，-2） | B． | （-1，2） | C． | （1，-2） | D． | （2，-1） |
| A． | （-1，2） | B． | （2，1） | C． | （2，-1） | D． | （3，-1） |
| A． | （5，4） | B． | （5，-4） | C． | （4，-5） | D． | （-5，-4） |
如图，点P是等腰Rt△ABC的底边BC延长线上的一点，过P作BA、AC的垂线，垂足分别为E、F．
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |