Question

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠AOB=60°，点P为线段BO上任意一点，以AP为边作等边三角形APF．连结BF，求证：BF=OP．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,矩形的性质

专题：证明题

分析：根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA=OB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=AO，∠BAO=60°，根据等边三角形的性质可得AF=AP，∠FAP=60°，再求出∠BAF=∠OAP，然后利用“边角边”证明△ABF和△AOP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO，∠BAO=60°，
∵△APF是等边三角形，
∴AF=AP，∠FAP=60°，
∴∠BAF+∠BAP=∠OAP+∠BAP=60°，
∴∠BAF=∠OAP，
在△ABF和△AOP中，

AB=AO ∠BAF=∠OAP AF=AP

，
∴△ABF≌△AOP（SAS），
∴BF=OP．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等的三角形和全等的条件是解题的关键．