Question

8．西南铝业集团成功研制出一种新型镍合金产品．批量生产后向A、B两地销售，市场火爆得供不应求．已知这种产品每月的产量x（吨）与成本y（万元）成二次函数关系：y=$\frac{1}{10}$x²+5x+90，在A、B两地每吨的售价P_A（万元）和P_B（万元）均与x成一次函数．
（1）已知P_A=-$\frac{1}{20}$x+14，若每月的产量x（吨）都在A地销售，请你用含x的代数式表示在A地每月的销售额，并求利润W_A（万元）与x之间的函数关系式（注；利润=销售额-成本）
（2）若P_B=-$\frac{1}{10}$x+b（b为常数），如果每月的产量x（吨）都在B地销售，可获得的最大利润为35万元，求b的值；
（3）铝业集团2014年2月计划生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果请你通过计算并选择在A地还是在B地销售才能获得较大的利润？

Answer 1

分析 （1）依据年利润=年销售额-全部费用即可求得利润W_A（万元）与x之间的函数关系式；
（2）求出利润W_B（万元）与x之间的函数关系式，根据最大年利润为35万元．求出b的值；
（3）分别求出x=18时，W_A和W_B的值，通过比较W_A和W_B大小就可以帮助投资商做出选择．

解答 解：（1）A地当年的年销售额为（-$\frac{1}{20}$x+14）•x=（-$\frac{1}{20}$x²+14x）万元；
w_A=（-$\frac{1}{20}$x²+14x）-（$\frac{1}{10}$x²+5x+90）=-$\frac{3}{20}$x²+9x-90．
（2）在B地区生产并销售时，
年利润：w_B=-$\frac{1}{10}$x+b-（$\frac{1}{10}$x²+5x+90）
=-$\frac{1}{5}$x²+（b-5）x-90．
由$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-\frac{1}{5}）×（-90）-（n-5）^{2}}{4×（-\frac{1}{5}）}$=35，
解得b=15或-5．
经检验，b=-5不合题意，舍去，
∴b=15．
（3）在乙地区生产并销售时，年利润
w_B=-$\frac{1}{5}$x²+10x-90，
将x=18代入上式，得w_B=25.2（万元）；
将x=18代入w_A=-$\frac{3}{20}$x²+9x-90，
得w_A=23.4（万元）．
∵W_B＞W_A，
∴应选B地．

点评 本题考查了二次函数的应用，本题是一道最佳方案选择题，通过计算、比较同一个自变量的两个函数值的大小来选择最佳方案．依据年利润=年销售额-全部费用即可求得利润W_A（万元）与x之间的函数关系式及利润W_B（万元）与x之间的函数关系式，分别求出x=18时，W_A和W_B的值，通过比较W_A和W_B大小就可以帮助投资商做出选择