题目内容

2．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点B在第一象限，顶点A、C分别在x轴和y轴上，直线l1：x=4与直线l2：y=4相交于点E，以点E为顶点的抛物线K经过点B（6，6）．
（1）求抛物线K的解析式．
（2）点P是线段OC上一点，点O关于AP的对称点为M，
①若点M落在直线l1或l2上时，将抛物线向下或向上平移多少，使其顶点落在AM上；
②若点M落在抛物线上，请直接写出一个符合题意的点P的坐标．

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①以A为圆心，以6为半径画弧，交直线l1：x=4与直线l2：y=4相交于点M1、M2，设M1（m，4），M2（4，n），求出m，n即可解决问题．②当点P与点C重合时，点M与B重合，点M在抛物线上，此时P（0，6）；

解答 解：（1）∵直线l1：x=4与直线l2：y=4相交于点E，
∴点E的坐标为（4，4）．
设抛物线K的解析式为y=a（x-4）2+4，
∵抛物线K经过点B（6，6），
∴6=a（6-4）2+4，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线K的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-4）2+4．

（2）①以A为圆心，以6为半径画弧，交直线l1：x=4与直线l2：y=4相交于点M1、M2，
设M1（m，4），M2（4，n），
∵A（6，0），OM=6，
∴（m-6）2+42=62，（4-6）2+n2=62，
解得m=6-2$\sqrt{5}$，n=4$\sqrt{2}$，
∴M（6-2$\sqrt{5}$，4），
∴$\frac{{h}_{1}}{4}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
解得，h1=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴将抛物线向下平移4-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，使其顶点落在AM1上；将抛物线向上平移4$\sqrt{2}$-4，使其顶点落在AM2上；
②当点P与点C重合时，点M与B重合，点M在抛物线上，此时P（0，6）．

点评 本题考查二次函数与几何变换，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题．

练习册系列答案
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