Question

10．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）问题探究
小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形．她的猜想正确吗？请说明理由．
（3）如图2，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，$AC=\sqrt{2}AB$．试探究线段BC，CD，BD之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用“等邻边四边形”的定义添加条件即可．
（2）用矩形和菱形的判定，先判断出四边形既是矩形，又是菱形，从而得到它是正方形；
（3）先判断出△ACF∽△ABD，得到$CF=\sqrt{2}BD$，再求出∠CBF=90°，最后用勾股定理即可求解．

解答 解：（1）AB=BC，
理由：∵四边形ABCD是凸四边形，且AB=BC，
∴四边形ABCD是“等邻边四边形”．
（2）①正确；理由为：
∵四边形的对角线互相平分且相等，
∴四边形ABCD是矩形
∵四边形是“等邻边四边形”，
∴这个四边形有一组邻边相等，
∴四边形ABCD是菱形
∴对角线互相平分且相等的等邻边四边形是正方形，
（3）BC²+CD²=2BD²
证明：如图，

∵AB=AD，
∴将△ADC线绕点A旋转到△ABF，连接CF，则△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF，$\frac{AC}{AD}=\frac{AF}{AB}$，
∴△ACF∽△ABD，
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{AC}{AB}$，
∵$AC=\sqrt{2}AB$，
∴$CF=\sqrt{2}BD$，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（∠BAD+∠BCD）=360°-90°=270°
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴$B{C^2}+F{B^2}=C{F^2}={（{\sqrt{2}BD}）^2}=2B{D^2}$
∴BC²+CD²=2BD²．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了新定义的理解，矩形，菱形，正方形的性质和判定，勾股定理，三角形全等和相似的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线分别判断出三角形相似和全等．