Question

7．如图，A，B，C是三个村庄，它们恰好是正方形ABCD的三个顶点，现要在公路BD某处P的附近修建一座农产品收购站．当点P选在何处时AP+BP+CP的值最小？试利用图形的旋转，探索点P的位置．

Answer 1

分析 将△ABP绕着点B逆时针旋转60°得到△A′BP′，则P′A′=PA，BP=BP′，∠PBP′=60°，于是得到△PBP′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到PP′=PB，当A′，P′，P，C四点在同一条直线上时，AP+BP+CP的值最小；①将线段BA绕着点B逆时针旋转60°得到BA′，②连接A′C交BD于点P，则点P就是符合条件的点．

解答 解：如图，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°得到△A′BP′，则P′A′=PA，BP=BP′，∠PBP′=60°，
∴△PBP′是等边三角形，
∴PP′=PB，
∴当A′，P′，P，C四点在同一条直线上时，AP+BP+CP的值最小，
综上所述，点P的确定方法是：
①将线段BA绕着点B逆时针旋转60°得到BA′，
②连接A′C交BD于点P，则点P就是符合条件的点．

点评 本题考查了旋转的性质，辅助线的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．