Question

20．如图1，小东将一张长方形纸片ABCD按如下方式进行折叠；在纸片的一边BC上分别选取点P、Q，使得BP=CQ，连结AP、DQ，将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得△APM、△PQN，连结MN，小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置发生改变．
【规律探索】
（1）图1中，过点M、N分别画ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F，求证：ME=NF．
【解决问题】
（2）如图1，若AB=6，BC=10$\sqrt{3}$，∠APB=60°，求线段MN的长；
（3）如图2，若AB=6，∠APB=30°时，四边形PQMN是矩形，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABP≌△DCQ，由此推出∠MPE=∠NQF，再证明△MEP≌△NFQ即可．
（2）分别在Rt△ABP，和Rt△MEP中，求出PB、PE即可解决问题．
（3）分别在Rt△ABP，和Rt△NPQ中，求出PB、PQ即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD，
在△ABP和△DCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DCQ．
∴∠APB=∠DQC，
由题意可知∠APB=∠APM，∠DQC=∠DQN，PB=PM=CQ=QN，
∴∠BPM=∠CQN，
∴∠MPE=∠NQF，
在△MEP和△NFQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MEP=∠NFQ=90°}\\{∠MPE=∠NQF}\\{PM=NQ}\end{array}\right.$，
∴△MEP≌△NFQ，
∴ME=NF．

（2）如图1中，在Rt△ABP中，∵∠B=90°，AB=6，∠APB=60°，
∴PB=AB•tan30°=2$\sqrt{3}$，
在Rt△PME中，∵PM=2$\sqrt{3}$，∠MEP=90°，∠MPE=60°，
∴PE=$\frac{1}{2}$PM=$\sqrt{3}$，同理可得CQ=2$\sqrt{3}$．FQ=$\sqrt{3}$，
∴EF=BC-PB-PE-FQ-QC=4$\sqrt{3}$，
∵ME=NF，ME∥NF，
∴四边形MEFN是平行四边形，
∴MN=EF=4$\sqrt{3}$．

（3）如图2中，

在Rt△ABP中，∵∠B=90°，AB=6，∠APB=30°，
∴PB=$\sqrt{3}$AB=6$\sqrt{3}$，
∴CQ=BP=6$\sqrt{3}$，
∵四边形MNPQ是矩形，
∴∠NPQ=90°，
在Rt△QNP中，∵∠NPQ=90°，QN=QC=6$\sqrt{3}$，∠NQP=60°，
∴QP=$\frac{1}{2}$QN=3$\sqrt{3}$，
∴BQ=PC=3$\sqrt{3}$，
∴AD=BC=BQ+PQ+PC=9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查四边形综合题、翻折变换、全等三角形的判定和性质、矩形的性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．