Question

15．现在的乐陵已经实现村村通公路，现有两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．
（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=4（$\sqrt{3}$+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．

Answer 1

分析 （1）依题意找出点C如图所示，
（2）先判断出∠CMN=30°，∠CND=45°，再用三角函数得出MD=$\sqrt{3}$CD；ND=CD即可．

解答 解：（1）如图：

∴点C就是所求作的点；
（2）如下图，作CD⊥MN于点D，

由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，
∵在Rt△CMD中，$\frac{CD}{MD}$=tan∠CMN，
∴MD=$\frac{CD}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$CD；
∵在Rt△CND中，$\frac{CD}{DN}$=tan∠CNM，
∴ND=$\frac{CD}{1}$=CD；
∵MN=2（$\sqrt{3}$+1）km，
∴MN=MD+DN=CD+$\sqrt{3}$CD=4（$\sqrt{3}$+1）km，
解得：CD=4km．
∴点C到公路ME的距离为4km．

点评 此题是解直角三角形，主要考查了尺规作图中的角平分线和中垂线，锐角三角函数，解本题的关键是用锐角三角函数判断出ND=CD，MD=$\sqrt{3}$CD．