Question

11．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、ABC上，且AE=BF=1，CE、DF相交于点O，下列结论：
①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=$\frac{4}{3}$，④△COD的面积等于四边形BEOF的面积，正确的有 （　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①正确．由△EBC≌△FCD（SAS），推出∠CFD=∠BEC，推出∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，推出∠DOC=90°．
②错误．用反证法证明．
③正确．易证得∠OCD=∠DFC，由此tan∠OCD=tan∠DFC=$\frac{DC}{FC}$=$\frac{4}{3}$．
④正确．由△EBC≌△FCD，推出S_△EBC=S_△FCD，推出S_△EBC-S_△FOC=S_△FCD-S_△FOC，即S_△ODC=S_{四边形BEOF}．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF=1，
∴BE=CF=4-1=3，
在△EBC和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠DCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD=∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠DOC=90°，故①正确；
连接DE，如图所示：
若OC=OE，
∵DF⊥EC，
∴CD=DE，
∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠OCD=∠DFC，
∴tan∠OCD=tan∠DFC=$\frac{DC}{FC}$=$\frac{4}{3}$，故③正确；
∵△EBC≌△FCD，
∴S_△EBC=S_△FCD，
∴S_△EBC-S_△FOC=S_△FCD-S_△FOC，
即S_△ODC=S_{四边形BEOF}，故④正确；
故选C．

点评 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用反证法的方法证明②错误，属于中考常考题型．